曼德布洛特集合 Mandelbrot set

曼德佈洛特集合，是由法國的科學家曼德佈洛特 Benoit B. Mandelbrot(1924-2010)的名字來命名。所謂的集合就是指一群被相同定義的東西的總合。例如勞工朋友們就是一群集合。符合被政府定義為勞工的人都算是勞工集合的一部份。曼德佈洛特指的是符合

Zn+1=Zn*Zn+C

Z與C都是複數。我們找一個C值。那麼 Z0=C, Z1=Z0*Z0+C, Z2=Z1*Z1+C...一直算下去，這個過程稱之為疊代。最後，我們會得到一個Zx，這個值可能一直放大，也可能就趨近一個值。我們要的就是會趨進一個值的C。在上面主題的圖中，黑色的部分就是所有會收斂的C的位置。而這一些C被稱為曼德佈洛特集合。

那麼最有趣的地方在那呢？就是在會收斂跟不收斂的邊界。這個邊界曼德佈洛特命名為碎形。為什麼叫碎形，當然是因為他碎碎的！呵…如何的碎法。只要放大邊界來看，就會發現，圖形是一直自我相似，一直在複製自己，但又不太一樣。這也是這個桌布有趣的地方了，每個人可以找到一個自己特有感覺的邊界，將他放大，放大，再放大。每一次都是無比的驚奇。

你是否看到海岸線的形狀，是否看到樹木的枝幹，是否看到海水的波紋，是否看到人體的器官…沒錯，是乎所有自然界的一切都是以Zn+1=Zn*Zn+C這個公式疊代出來的。好神奇，自我相似，自我複製。現在很多的電影特效就是用這種概念製造出來，像爆炸的火焰，煙霧之類，製造出來的效果逼真許多。

說到碎形，我們就得講到碎形的維度。這一段希望大家好好讀一下，不會花太多時間。值得思考。

我們先談什麼是維度。就是我們常聽到的一度空間，二度空間的另一種說法。一度空間就是一維，二度空間就是二維，三度空間就是三維。一維指的就是一直線。二維就是平面。三維就是立體。但碎形呢？因為他是破碎的，所以不會是一維，二維這種整數的維度，而是有小數點的一點多維，二點多維。 這有概念有點怪，平面就平面，立體就是立體，怎麼會有介於平面跟立體之間這種說法。

我們來看看右邊這張圖是謝爾賓斯基地毯(Wacław Franciszek Sierpiński)，我們想像有一張正方形的地毯(二維平面)，把他分成九宮格後，把中間挖掉。接下來，其於的8個九宮格我們再分成九宮格，再把中間挖掉。一直重復下去, 無限次開挖後整個平面就挖空了。但是如果我們一直放大看下去，會發現還是有平面，而且不管怎麼放大，都長得跟右邊這張圖一樣。這是不是很矛盾？是的，這就是碎形，在"沒有平面"跟"有平面"之間。所以…

這張圖的維度是1.89... 也就是說，他不是平面(二維)。他是在在"沒有平面"跟"有平面"之間。

先暫停一下，我們談一下赫斯特參數。

Harold Edwin Hurst (1880-1978) 是英國的水文學家。會發明赫斯特參數，是因為赫斯特在埃及造水庫時，必需了解和估計每年河水流量的大小，才能設計相對應的水庫大小。在研究的過程中，赫斯特了解到統計上使用標準差來估計河水流量風險是很大的，他必需要有新的參數來做參考，這個參數，就以赫斯特為名。

這個參數是0~1的一個值，如果是0.5代表隨機，如果接近1，代表前一年水量大，今年水量也會大的機會很大。如果接近0，代表前一年水量大，今年水量會小的機會很大。這種參數很可怕，代表了周期性的評估。如果接近1，周期性就很明顯，也就是可以預測。如果接近0，也是可預測，代表跟前面相反。只有0.5是真得不可預測，是隨機的。

那麼，如果我們把我們人生的一些事件拿來算這個參數。如每次跟老婆吵架的時間，如果是接近1，就是跟老婆吵架的時間是有周期的，一段時間就要吵一下，維持一下感情。如果是0.5, 就是說跟老婆吵架的時間是沒有固定的，要爆發就爆發，完全沒有可預測性，這個婚姻是一個不定時的炸彈。如果是接近0，那就是如果不吵架就會想要吵架，如果吵架了，就會想要冷靜不吵架。

如果我們知道了人生的赫斯特參數，我們的人生可能就不那麼有趣了。然而，曼德佈洛特做了一件事，他證明了碎形維度跟赫斯特參數是可以互相推導的。碎形維度代表了人生發生的事件，而我們可以從碎形中觀察到，碎形是在有限空間中發生的自我相似的形狀，赫斯特參數代表了發生的規律。也就是說夫妻吵架的內容是為了相似的事，且在可預測的時間發生了。

想到這裡，我笑了。這就是人生的局限性。

以下我們來看一些桌布的成果，附上參數…

這一張有樹根的味道

參數:

虛數Imaginary part:          打勾 tick    

實數Real part:                不打勾 untick

疊代數Iteration:              不打勾 untick

紅色 red:                                      11%

綠色 green:                                  11%

藍色 blue:                                     13%

是否很像是海岸線？

也像是葉子的邊緣。

參數:

虛數Imaginary part:   不打勾 untick
        實數Real part:             不打勾 tick            

疊代數Iteration:              打勾 tick    

紅色 red:                                 50%

綠色 green:                             50%

藍色 blue:                                50%

百分之一百加拿大楓葉

參數:

虛數Imaginary part:        打勾 tick

    實數Real part:              不打勾 untick

 疊代數Iteration:               打勾 tick 

紅色 red:                             100%

綠色 green:                         100%

 藍色 blue:                            100%